Non-euclidien

 

Source : John von Neumann, l’homme qui venait du futur, l’histoire d’un des plus grands génies du siècle, par Ananyo Bhattcharya, éditions Quanto.

La crise fondamentale des mathématiques est venue de la découverte de défauts dans les Éléments d’Euclide, le manuel de géométrie par excellence depuis des siècles. Euclide y expose cinq affirmations dont il estime qu’elles vont de soi, les axiomes ou postulats, il y démontre un certain nombre de propositions plus complexes, les théorèmes, notamment le théorème de Pythagore : le carré de la longueur du plus grand côté d’un triangle rectangle est égal à la somme des carrés des deux autres. Cette « méthode axiomatique » était la pierre angulaire des mathématiques, et les planètes étaient censées évoluer dans le type d’espace tridimensionnel décrit dans les Éléments.

À l’orée du XIXe siècle, une seule géométrie semblait possible. « La géométrie euclidienne était un recueil de grandes vérités au sujet du monde, aussi certaines que pouvait l’être quelque connaissance que ce soit, dit l’historien Jeremy Gray. Elle est aussi l’espace de la physique newtonienne. C’est la géométrie que l’on inculquait à l’école. Si elle était imparfaite, quel type de savoir pratique pouvait-il exister ? »

Le premier pas vers l’anéantissement de cette orthodoxie avait été accompli dans les années 1830 par Janos Bolyai, encore un prodige hongrois des mathématiques et le Russe Nikolaï Lobatchevski. Chacun de son côté, ils ont développé des géométries dans lesquelles la dernière des cinq assertions d’Euclide, son « axiome des parallèles », n’est pas vraie. Ce postulat est différent des quatre autres. Selon le deuxième, par exemple, tout segment de droite peut se prolonger à l’infini. Même les esprits les plus tatillons auront du mal à la contester. Mais le cinquième affirme que si deux droites en coupent une autre de façon que la somme des angles internes d’un côté est inférieure à deux angles droits, c’est-à-dire 180 degrés, ces deux droites se couperont inévitablement de ce côté pour peu qu’on les prolonge suffisamment. En revanche, si la somme de a et b donne 180 degrés, les deux droites ne se coupent jamais, on dit qu’elles sont parallèles.

Les mathématiciens y ont toujours moins vu un postulat qu’un théorème demandant démonstration, et beaucoup s’y étaient attelés depuis deux mille ans, sans succès. Lorsqu’il a appris que son fils projetait de s’attaquer au cinquième postulat, le père de Bolyai, géomètre lui-même, l’a vivement incité à renoncer : « Tire les leçons de mon exemple : j’ai voulu m’enquérir des parallèles, je demeure ignorant, cela m’a privé des fleurs de la vie, et de tout mon temps. »

Ce qu’ont découvert Bolyai et Lobatchevski porte aujourd’hui le nom de géométrie hyperbolique. Les surfaces où règnent les cinq postulats d’Euclide sont de type plat, comme une feuille de papier, mais une surface hyperbolique fuit en courbe de tous les côtés comme une selle de cheval. On peut se les représenter comme ces pommes chips bien connues qui s’empilent parfaitement dans leur tube, ou comme les fortifications chiffonnées des champignons noirs. Sur ces surfaces, bon nombre de règles familières de la géométrie scolaire n’ont plus cours : la somme des trois angles d’un triangle par exemple n’atteint pas 180 degrés. « À partir de rien, écrit Bolyai à son père, j’ai créé un nouvel univers étrange. »

Le bond suivant en géométrie a été accompli par le mathématicien allemand Bernhard Riemann dans les années 1850, une vingtaine d’années après Bolyai et Lobatchevski. La thèse de doctorat de Riemann, aujourd’hui considérée comme l’une des plus formidables jamais rédigées en mathématiques, était, selon Carl Friedrich Gauss, le grand mathématicien de l’époque, « d’une originalité admirable et féconde. »

Bolya et Lobatchevski avaient imaginé des plans se courbant dans l’espace mais les surfaces de Riemann s’enroulaient et se tordaient souvent d’une façon à peine concevable. Ses mathématiques décrivaient des espaces comportant n’importe quel nombre de dimensions, l’hyperespace, aussi simplement que ceux aux trois dimensions habituelles. Plus d’un demi-siècle plus tard, la géométrie de Riemann s’avérerait « admirablement adaptée » à la description de l’espace temps déformé à quatre dimensions de la relativité générale d’Einstein.